Ley de
gravitación universal
Fuerzas mutua de
atracción entre dos esferas de diferente tamaño. De acuerdo con la mecánica
newtoniana las dos fuerzas son iguales en módulo, pero de sentido contrario; al
estar aplicadas en diferentes cuerpos no se anulan y su efecto combinado no
altera la posición del centro de gravedad conjunto de ambas esferas.
La ley de la
Gravitación Universal es una ley física clásica que describe la interacción
gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac
Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Matemática, publicado en
1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida
empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con
masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerpos de
diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado de la
distancia que los separa. También se observa que dicha fuerza actúa de tal
forma que es como si toda la masa de cada uno de los cuerpos estuviese
concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen
únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las
interacciones entre cuerpos complejos.
Así, con todo
esto resulta que la ley de la Gravitación Universal predice que la fuerza
ejercida entre dos cuerpos de masas
y separados una distancia es proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir:
Donde
Es el módulo de la
fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que
une ambos cuerpos.
Es la constante de la
Gravitación Universal.
Es decir, cuanto más masivos sean los cuerpos y más cercanos
se encuentren, con mayor fuerza se atraerán. El valor de esta constante de
Gravitación Universal no pudo ser establecido por Newton, que únicamente dedujo
la forma de la interacción gravitatoria, pero no tenía suficientes datos como
para establecer cuantitativamente su valor. Únicamente dedujo que su valor
debería ser muy pequeño. Sólo mucho tiempo después se desarrollaron las
técnicas necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de las constantes
universales conocidas con menor precisión. En 1798 se hizo el primer intento de
medición (véase el experimento de Cavendish) y en la actualidad, con técnicas
mucho más precisas se ha llegado a estos resultados:
En unidades del Sistema Internacional.
Esta ley recuerda mucho a la forma de la ley de Coulomb para
las fuerzas electrostáticas, ya que ambas leyes siguen una ley de la inversa
del cuadrado (es decir, la fuerza decae con el cuadrado de la distancia) y
ambas son proporcionales al producto de magnitudes propias de los cuerpos (en
el caso gravitatorio de sus masas y en el caso electrostático de su carga
eléctrica).
Aunque actualmente se conocen los límites en los que dicha
ley deja de tener validez (lo cual ocurre básicamente cuando nos encontramos
cerca de cuerpos extremadamente masivos), en cuyo caso es necesario realizar
una descripción a través de la Relatividad General enunciada por Albert
Einstein en 1915, dicha ley sigue siendo ampliamente utilizada y permite
describir con una extraordinaria precisión los movimientos de los cuerpos
(planetas, lunas, asteroides, etc ) del Sistema Solar, por lo que a grandes
rasgos, para la mayor parte de las aplicaciones cotidianas sigue siendo la
utilizada, debido a su mayor simplicidad frente a la Relatividad General, y a
que ésta en estas situaciones no predice variaciones detectables respecto a la
Gravitación Universal.
Historia
Trabajos de Hooke y disputa
Cuando el primer libro de los Principios de Newton fue expuesto
a la Royal Society (la Real Academia de las Ciencias, de Inglaterra), el
coetáneo Robert Hooke acusó a Newton de plagio por copiarle la idea de que la
gravedad decaía como la inversa cuadrado de la distancia entre los centros de
ambos cuerpos. Aunque esta controversia ha durado incluso hasta nuestros días,
no hay datos claros sobre si realmente Newton conocía los trabajos de Hooke o
no, ya que aunque ambos se carteaban regularmente, en ninguna de esas cartas
Hooke menciona la ley de la inversa cuadrado, algo que Newton sí hizo con otros
autores a los que sí agradeció1 los trabajos anteriores en los que basó sus
ideas. Frente a esta proclama de Hooke de su idea de la inversa cuadrado,
Newton reiteró que dicha idea en ningún caso era exclusivamente de él, sino que
fueron varios autores en aquella época que ya se dieron cuenta de una
dependencia de ese tipo, como reflejó en los agradecimientos de su publicación.
Relación con las Leyes de Kepler
Las Leyes de Kepler (enunciadas por Johannes Kepler) eran
una serie de tres leyes empíricas que describían el movimiento de los planetas
a través de las observaciones existentes. Aunque éstas describían dichos
movimientos, los motivos de por qué éstos eran así o qué los causaban
permanecían desconocidas tanto para Kepler como para sus coetáneos. Sin
embargo, éstas supusieron un punto de partida para Newton, quien pudo dar una
formulación matemática a dichas leyes, lo cual junto con sus propios logros
condujeron a la formulación de la ley de la Gravitación Universal. En especial,
a través de dicha ley Newton pudo dar la forma completa a la Tercera ley de
Kepler, que describe que los cuadrados de los periodos de las órbitas de los
planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias al Sol. Es decir, que
los planetas más alejados del Sol tardan más tiempo en dar una vuelta alrededor
de éste (su año es más largo).
Formulación general de la ley de la Gravitación Universal
Forma vectorial
Aunque en la ecuación (1) se ha detallado la dependencia del
valor de la fuerza gravitatoria para dos cuerpos cualesquiera, existe una forma
más general con la que poder describir completamente dicha fuerza, ya que en
lugar de darnos únicamente su valor, también podemos encontrar directamente su
dirección. Para ello, se convierte dicha ecuación en forma vectorial, para lo
cual únicamente hay que tener en cuenta las posiciones donde se localizan ambos
cuerpos, referenciados a un sistema de referencia cualquiera. De esta forma,
suponiendo que ambos cuerpos se encuentran en las posiciones, la fuerza (que
será un vector ahora) vendrá dada por
Donde es el vector
unitario que va del centro de gravedad del objeto 1 al del objeto 2.
Cuerpos extensos
Se ha mencionado anteriormente que dichos cuerpos se pueden
tratar como cuerpos puntuales, localizados en el centro de gravedad del cuerpo
real, de tal forma que la descripción de esta fuerza se realiza trabajando
únicamente con cuerpos puntuales (toda su masa se encuentra concentrada en su
centro). Sin embargo, para algunos casos se puede hacer necesario tratar dichos
cuerpos como lo que son, cuerpos con una extensión dada, es decir no puntuales.
Un ejemplo donde este tratamiento es obligatorio es cuando se desea determinar
cómo varía la fuerza de la gravedad a medida que nos situamos en el interior de
un objeto, por ejemplo qué gravedad existe en el interior de la Tierra (en la
región del manto terrestre o del núcleo).
En estos casos es necesario describir al objeto masivo como
una distribución de masa, es decir describirlo a través de su densidad en cada
punto del espacio. Así, se integra la fuerza que produce cada elemento
infinitesimal del cuerpo sobre cada elemento del otro objeto, sumando a todos
los elementos que existen en el volumen de ambos cuerpos, lo cual
matemáticamente se traduce en una integral sobre el volumen de cada cuerpo, de
tal forma que la fuerza gravitatoria entre ambos se obtiene como
Donde
- son los volúmenes de los dos cuerpos.
- son las densidades de los dos cuerpos en cada punto del espacio ().
Puede verse que si se tienen dos cuerpos finitos entonces la fuerza gravitatoria entre ambos viene acotada por:
Donde son las distancias mínima y máxima entre los dos cuerpos en un instante dado.
Consecuencias
Aceleración de la gravedad
Considerando la Segunda ley de Newton, que explica que la
aceleración que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza ejercida sobre él,
estando relacionadas por una constante de proporcionalidad que es precisamente
la masa de dicho objeto,
e introduciéndole en la ley de la Gravitación Universal (en su forma más simple, únicamente por simplicidad) se obtiene que la aceleración que sufre un cuerpo debido a la fuerza de la gravedad ejercida por otro de masa es igual a
Donde es la aceleración sufrida. Es decir, dicha aceleración es independiente de la masa que presente nuestro objeto, únicamente depende de la masa del cuerpo que ejerce la fuerza y de su distancia. Por ello, si se tienen dos cuerpos de diferente masa (por ejemplo la Luna y un satélite artificial, que únicamente tenga una masa de unos pocos kilogramos) a la misma distancia de la Tierra, la aceleración que produce ésta sobre ambos es exactamente la misma. Como esta aceleración tiene la misma dirección que la de la fuerza, es decir en la dirección que une ambos cuerpos, esto produce que si sobre ambos cuerpos no se ejerce ninguna otra fuerza externa, éstos se moverán describiendo órbitas entre sí, lo cual describe perfectamente el movimiento planetario (o del sistema Tierra—Luna), o de caída libre aproximándose un cuerpo hacia el otro, como ocurre con cualquier objeto que soltemos en el aire y que cae irremediablemente hacia el suelo, en la dirección del centro de la Tierra.
Con esta ley se puede
determinar la aceleración de la gravedad que produce un cuerpo cualquiera
situado a una distancia dada. Por ejemplo, se deduce que la aceleración de la
gravedad que nos encontramos en la superficie terrestre debido a la masa de la
Tierra es de , que es la aceleración sufrida por un objeto al
caer. Y que esta aceleración es prácticamente la misma en el espacio, a la
distancia donde se encuentra la Estación Espacial Internacional, (es decir, es un 95% de la gravedad que tenemos
en la superficie, únicamente una diferencia de un 5%), siendo necesario
recordar que el hecho de que los astronautas no sientan la gravedad no es
porque ésta allí sea nula, sino por su estado de
Preferencia del cuerpo más
masivo
Continuando con lo que se
acaba de mencionar acerca de la aceleración que sufre un cuerpo como
consecuencia de otro objeto masivo, el hecho de que esta aceleración únicamente
dependa de la masa de este cuerpo (olvidándonos de su distancia por un momento)
muestra que para dos cuerpos dados de diferente masa, el cuerpo menos masivo
será el que sufra una aceleración mayor, y por tanto un movimiento más
pronunciado. Con esto se observa directamente una respuesta a por qué es la
Tierra la que órbita en torno al Sol y no al revés, puesto que este último
tiene una masa increíblemente superior a la de la Tierra (unas 330.000 veces
superior), haciendo que el movimiento sufrido por el Sol como consecuencia de
la Tierra sea insignificante. Y de igual modo, es la Luna (cuerpo menos masivo)
quien órbita en torno a la Tierra.
Interior de un cuerpo
esférico
Una de las consecuencias que
trae que la gravedad sea una fuerza que depende como la inversa del cuadrado de
la distancia es que si se tiene un cuerpo esférico, con una densidad que
únicamente va variando a medida que nos alejamos del centro del cuerpo (lo cual
podría ser un modelo que describe de forma bastante adecuada a la Tierra), se
puede demostrar a través de la ley de Gauss que la fuerza en su interior (a una
distancia del centro) únicamente depende
de la masa existente dentro de la esfera de radio . Es decir, la masa que hay
fuera de dicha esfera no produce ninguna fuerza sobre un cuerpo situado en
dicho punto. Por ello, dentro del cuerpo la fuerza ya no depende de la inversa
cuadrado (puesto que ahora la masa a considerar depende también de dicha
distancia) y resulta que es proporcional a dicha distancia. Esto es, en el
interior del cuerpo la fuerza de la gravedad va creciendo conforme nos alejamos
del centro del cuerpo (en donde ésta es nula) hasta llegar a la superficie,
donde se hace máxima. A partir de aquí se observa el comportamiento habitual de
decrecimiento conforme nos alejamos del cuerpo. Todo esto se puede ver en mayor
profundidad en la entrada de la intensidad del campo gravitatorio.
Interior de una corteza
hueca
Y por extensión de lo que se
acaba de mencionar, en el caso en que se tuviese un cuerpo esférico pero hueco
por dentro (es decir que únicamente sería unas cáscara esférica), en cualquier
punto externo a él sigue produciendo una fuerza de la gravedad de acuerdo con
la ecuación (1), es decir como si dicho cuerpo fuese puntual. Sin embargo, al
adentrarnos dentro del mismo, observaríamos cómo no hay fuerza de la gravedad,
puesto que en su interior ya no hay masa.
Movimiento de los planetas
Como se ha mencionado en el
apartado histórico, esta ley permite recuperar y explicar la Tercera Ley de
Kepler, que muestra de acuerdo a las observaciones que los planetas que se
encuentran más alejados del Sol tardan más tiempo en dar una vuelta alrededor
de éste. Además de esto, con dicha ley y usando las leyes de Newton se describe
perfectamente tanto el movimiento planetario del Sistema Solar como el
movimiento de los satélites (lunas) o sondas enviadas desde la Tierra. Por
ello, esta ley estuvo considerada como una ley fundamental por más de 200 años,
y aún hoy sigue estando vigente para la mayoría de los cálculos necesarios que
atañen a la gravedad.
Uno de los hechos que
muestran su precisión es que al analizar las órbitas de los planetas conocidos
en torno a 1800 (en donde quedaban por descubrir Neptuno y Plutón), se
observaban irregularidades en torno a la órbita de Urano principalmente, y de
Saturno y Júpiter en menor medida, respecto a lo que predecía la ley de Newton
(junto con las leyes de Kepler). Por esta razón, algunos astrónomos supusieron
que dichas irregularidades eran debidas a la existencia de otro planeta más
externo, alejado, que todavía no había sido descubierto. Así, tanto Adams como
Le Verrier (de forma independiente) calcularon matemáticamente dónde debería
encontrarse dicho planeta desconocido para poder explicar dichas
irregularidades. Neptuno fue descubierto al poco tiempo por el astrónomo Galle,
el 23 de septiembre de 1846, siguiendo sus indicaciones y encontrándolo a menos
de un grado de distancia de la posición predicha.
Corrección del peso por la
fuerza centrífuga en la Tierra
Cuando un cuerpo describe un
movimiento circular su velocidad va cambiando constantemente de dirección,
motivo por el cual se dice que tiene una aceleración al no ser constante la
velocidad, aunque que la magnitud de la velocidad no cambie. La aceleración que
sufre el cuerpo se debe a una fuerza que actúa en forma constante, a lo largo
de un radio, hacia el centro del círculo, dicha fuerza recibe el nombre de
fuerza centrípeta. Si esta fuerza deja de actuar, el cuerpo seguiría en línea
recta, lo cual equivaldría a salir disparado en forma tangencial a la curva de
su trayectoria, siguiendo un movimiento rectilíneo uniforme.
Si se pone a girar una
piedra atada a un cordel, este ejerce una fuerza centrípeta constante para
jalar a la piedra acelerándola hacia el centro del círculo. La piedra ejerce
sobre el cordel una fuerza centrífuga que la impulsa hacia afuera, originando
una tensión en el cordel que aumentará a medida que sea mayor la velocidad con
que gira la piedra. Para calcular el valor de la fuerza centrípeta se usa la
ecuación:
Donde:
, Fuerza centrípeta (usualmente en [N]).
La masa del cuerpo
que gira (usualmente en [kg]).
, velocidad lineal del cuerpo (usualmente en [m/s]).
, radio de la circunferencia (usualmente en [m]).
La fuerza centrífuga, es una fuerza ficticia percibida por
un observador sobre la tierra es igual en módulo y de sentido opuesto a la
aceleración centrípeta de la superficie de la tierra, por lo que un observador
situado sobre el ecuador terrestre percibirá una mayor fuerza centrípeta que en
elos polos. Esto se debe a que en un punto del ecuador se mueve más rápido que
uno próximo a los polos. Por tanto, cuando la Tierra da una vuelta alrededor de
su eje, el punto sobre el ecuador habrá recorrido aproximadamente 40 000 km,
que es el valor de la longitud de la circunferencia en el ecuador, mientras que
el punto próximo a uno de los polos recorrería aproximadamente 1000 km. Debido
a ello, la velocidad lineal de un punto sobre el ecuador será mayor que la de
un punto cerca de los polos y consecuentemente será mayor también su fuerza
centrífuga. Como el efecto de la fuerza centrífuga es un distanciamiento
respeco al eje de giro, la fuerza centrífuga percibida por un observador sobre
la tierra equivale a que este vea que dichos cuerpos se alejan del eje de giro,
reduciendo el efecto de la fuerza de gravedad de acuerdo con las medidas de
dicho observador.
Por esa razón, al medir el peso efectivo de un cuerpo un
observador situado cerca del ecuador medirá un menor peso que uno situado cerca
de los polos, toda vez que la aceleración centrífuga medida es menor en los
polos, además de encontrarse más cerca del centro de la Tierra debido al
achatamiento de sus polos.
Limitaciones
Si bien la ley de la gravitación universal da una muy buena
aproximación para describir el movimiento de un planeta alrededor del Sol, o de
un satélite artificial relativamente cercano a la Tierra, durante el siglo XIX
se observó algunos pequeños problemas que no se conseguían resolver (similares
al de las órbitas de Urano, que sí pudo resolverse tras el descubrimiento de
Neptuno). En especial, se encontraba la órbita del planeta Mercurio, la cual en
lugar de ser una elipse cerrada, tal y como predecía la teoría de Newton, es
una elipse que en cada órbita va rotando, de tal forma que el punto más cercano
al Sol (el perihelio) se desplaza ligeramente, unos 43 segundos de arco por
siglo, en un movimiento que se conoce como precesión. Aquí, al igual que con el
caso de Urano, se postuló la existencia de un planeta más interno al Sol, al
cual se le llamó Vulcano, y que no habría sido observado por estar tan próximo
al Sol y quedar oculto por su brillo. Sin embargo, éste planeta no existe en la
realidad (su existencia era inviable de todas formas), por lo que dicho
problema no pudo resolverse, hasta la llegada de la Relatividad General de
Einstein.
Además de este problema, en la actualidad el número de las
desviaciones observacionales existentes que no se pueden explicar bajo la
teoría newtoniana son varias:
Como se ha mencionado ya, la trayectoria del planeta
Mercurio no es una elipse cerrada tal como predice la teoría de Newton, sino
una cuasi-elipse que gira secularmente, produciendo el problema del avance del
perihelio que fue explicado por primera vez sólo con la formulación de la
teoría general de la relatividad. Esta discrepancia obedece precisamente al
límite de validez que actualmente conocemos para la teoría de Newton: ésta
únicamente es válida para cuerpos de poca masa o distancias grandes, lo cual se
cumple para todos los planetas del Sistema Solar excepto para Mercurio, puesto
que éste se encuentra muy cercano al Sol, un cuerpo lo suficientemente masivo
para producir discrepancias observables (aunque recordando que dicha
discrepancia es únicamente un efecto de 46 segundos de arco por siglo, el uso
de la Relatividad General sigue siendo necesario exclusivamente para cálculos
de alta precisión).
Aunque bajo la descripción de la gravedad de Newton ésta
únicamente se produce entre cuerpos con masa, se ha observado cómo la luz
también se curva (se desvía) como consecuencia de la gravedad producida por un
cuerpo masivo, por ejemplo el Sol. Este hecho, que aunque sí podía llegar a
interpretarse únicamente usando la ley de la Gravitación Universal, ésta no
daba cuenta de la desviación correcta observada, resultó ser una de las
primeras predicciones contrastadas que apoyaron la Relatividad General.
La velocidad de rotación de las galaxias no parece responder
adecuadamente a la ley de la gravitación, lo que ha llevado a formular el
problema de la materia oscura y alternativamente de la dinámica newtoniana
modificada. A través de la Tercera ley de Kepler hemos mencionado que los
periodos de los cuerpos crecen con la distancia a la que se encuentran del
cuerpo masivo. Aplicando dicho principio a las estrellas de una galaxia,
debería observarse algo similar para las estrellas más alejadas del centro de
la galaxia, pero esto es algo que no se observa y que, manteniendo la ley de la
Gravitación Universal, únicamente puede ser explicado si en dicha galaxia
existe mucha más masa de la que se observa, la cual es precisamente la
denominada materia oscura, puesto que sería materia que no vemos.
Problemas filosóficos
Acción a distancia
A parte de los problemas prácticos mencionados
anteriormente, existían algunos problemas de carácter más filosófico que atañen
a la propia teoría en sí. En concreto, uno de ellos era el concepto de acción a
distancia que utiliza la teoría. Esto es, en todo momento se ha descrito que
dos cuerpos alejados una determinada distancia (y por tanto, no se encuentran
en contacto entre sí) se ejercen una fuerza, la fuerza de la gravedad. Sin
embargo, sería necesario responder a las preguntas de ¿cómo se ejerce dicha
fuerza si ambos cuerpos no se tocan?. Esto era una cuestión por resolver, no
únicamente de la teoría de Newton, sino que también atañía al
electromagnetismo, y que no se sabía cómo afrontar. Por ello, esto dio lugar al
concepto físico de campo, que aunque no resolvía completamente el problema, sí
facilitaba la utilización de estas fuerzas a distancia y su explicación, y que
para la gravedad hizo que se comenzase a trabajar a través de la idea del campo
gravitatorio como causante de dicha fuerza de la gravedad.
Posteriormente, este problema quedaría resuelto en la
Relatividad General, ya que en ésta se prescindió de describir la gravedad como
una fuerza, pasando a entenderse ésta como una consecuencia de que los cuerpos
con masa curvan el espacio-tiempo (donde como analogía se podría imaginar el
espacio-tiempo como una cama elástica, donde los cuerpos pesados hacen que ésta
se deforme y por tanto los objetos que pasen por ahí se desvían de sus
trayectorias originales).
Masa inercial y masa gravitatoria: principio de equivalencia
hola
ResponderEliminarhola perri
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